اقتصاد و ریاضیات

در ایران سیستم پذیرش دانشگاهی و انتظارات دانشجویان طوریه که اونهایی که ریاضیاتشون ضعیفتره می رند رشته اقتصاد و توی رشته اقتصاد هم اونطور که باید به ریاضیات تکیه نمیشه. در دانشگاههای برتر دنیا چیزی بیش از بیست درصد کسایی که تحصیلات تکمیلی در اقتصاد رو شروع می کنند لیسانس ریاضی دارند. کسانی که با فیزیک یا مهندسی سر و کار داشته اند می دونند که قالب مسائل (در سطح عادی) در این رشته ها بصورت حل یک معادله دیفرانسیل درمی آد بنابراین برای فهم بخش عمده ای از این رشته ها آشنایی با حساب دیفرانسیل و انتگرال پیشرفته کافیه. در اقتصاد گستره تکنیکهای ریاضی مورد نیاز(حتی در سطح عادی) وسیعتره: مدلهای اقتصادی عموما به صورت سیستمی از معادلات (معمولی - دیفرانسیل یا تفاضلی) یا یک مسئله تئوری بازیها یا یک مسئله بهینه سازی درمیان. برای آشنایی بیشتر بد نیست نوع ریاضیاتی که تو اقتصاد بکار می ره رو بصورت زیر تقسیم بندی کنیم
● حسابان و آنالیز :
حساب دیفرانسیل و انتگرال یا حسابان بخشی از ریاضیاته که شامل مباحثی مثل مشتق – انتگرال- معادلات دیفرانسیل و از این قبیل میشه. مطالعه همین مباحث در حالتهای خیلی کلی تر و بشکل خیلی مجردتر آنالیز ریاضی نامیده میشه. همانند اغلب علوم دیگه حسابان در اقتصاد کاربردهای زیادی داره و استفاده ازاون از قدمت بیشتری برخورداره. به لحاظ تاریخی اوج استفاده از حسابان در اقتصاد رو می شه در کتاب مبانی تحلیل اقتصادی (۱۹۴۷) نوشته پل ساموئلسون دید. گهگاه استفاده از آنالیز ریاضی هم ضروری میشه مثلا ممکنه بهتر باشه یه مساله در فضای نامتناهی البعد (مثلا بعنوان تقریبی از تعداد بسیار زیاد کالاها یا مصرف کننده ها) مطالعه بشه
● توپولوژی :
از حدود دهه ۴۰ قرن بیستم با پیشگامی ریاضیدان مشهور فون نویمان اقتصادانا دریافتند که برخی از مسائل مشکل اقتصاد رومی توان با استفاده از توپولوژی جبری در حالتهای خیلی کلی حل کرد. اوج اون رو میشه در اثبات وجود تعادل عمومی و قضایای اول و دوم رفاه توسط آرو و دبرو دید. هر چند این قضایا نشان می داد که نقطه تعادلی وجود داره که دارای نوعی خاصیت بهینگی ست ولی چیز زیادی راجع به رفتار نقطه تعادل نمی گفت (مثلا اینکه آیا تعادل منحصر به فرده یا اینکه انتقال از نقطه غیر تعادل به تعادل چگونه ست) . دردهه ۷۰ میلادی اقتصاددانان (با پیشگامی دبرو) دریافتند که با بکارگیری توپولوژی دیفرانسیل میشه به بعضی ازاین سوالات پاسخ داد. مثلا ثابت شد که تحت شرایطی عام نقطه تعادل در مدل آرو – دبرو بطور موضعی یکتاست. بعنوان مثال دیگه ریاضیدان برجسته استیون اسمیل نشان داد که میتوان مبادلات رو از یک نقطه عدم تعادل شروع کرد و بتدریج به تعادلی رسید که دارای خاصیت بهینگی ست
● برنامه ریزی خطی و غیر خطی:
درخیلی از مطالعات کاربردی اقتصاددانان مجبورند مسائل بهینه سازی با متغییرها و محدودیتهای زیاد رو حل بکنند. مثلا یک اقتصاددان می خواد ببینه که در یک منطقه کشاورزی الگوی بهینه کشت چیه. ابزار مناسب برای حل چنین مسائلی برنامه ریزی خطی و یا نوع غیرخطی اونه. اقتصاددانا علاوه بر اینکه خودشون در توسعه این روشها نقش داشته اند اونها رو طوری تعدیل کرده اند که برای حل مسائل اقتصادی مناسبتر بشه مثلا ریسک رو در این مدلها دخالت دادند
● برنامه ریزی پویا و کنترل بهینه: وقتی که بخوایم مسائل بهینه سازی رو بصورت پویا (یعنی در طول زمان) مطالعه کنیم استفاده از این ابزارها ضروریه بطوریکه مطالعه اقتصاد منابع طبیعی و مدلهای رشد اقتصادی بدون آشنایی با کنترل بهینه غیر ممکنه.
● تئوری بازیها:
شاید مهمترین تحولی که در ارتباط ریاضیات و اقتصاد اتفاق افتاد بوجود آمدن تئوری بازیها باشه. خیلی از مسائل تو اقتصاد بصورت مطالعه رفتار استراتژیک بازیگرها در یه بازی در میاد. در واقع بلحاظ تاریخی تلاش برای حل اینگونه مسائل اقتصادی یکی از عوامل اصلی در توسعه تئوری بازیها بوده. امروزه بدون آشنایی با تئوری بازیها فهم بخش عمده ای از اقتصاد مثل سازماندهی صنعتی- انتخاب عمومی- اقتصاد سیاسی – تعادل عمومی – اقتصاد نهادی و ... غیرممکنه
● فرایندهای تصادفی یا حسابان تصادفی:
حسابان عادی مسائلی رو مطالعه می کنه که در اون تغییرات یک تابع یا متغییرغیر تصادفیه. افرادی مانند انشتین و نوربرت وینر روشهای ریاضی رو توسعه دادند که میشه با اونها مسائلی که در اون تغییرات یک تابع یا متغییر در هر زمان کاملا تصادفیه رو مطالعه کرد. اقتصادانا از دهه ۶۰ میلادی دریافتند که حسابان تصادفی ابزاری مناسب برای مطالعه پدیده هایی مثل تغییرات نرخ سهام یا نرخ بهره و از این قبیله. این استفاده به حدی رسیده که الان بدون آشنایی با حسابان تصادفی مطالعه اونچه که اقتصاد مالی نامیده میشه تقریبا غیرممکنه
● کمپلکسیتی:
در سالهای اخیر اقتصاددانا سعی کردند که بعضی فرضیات محدود کننده مدلهای نوکلاسیک مثل عقلانیت کامل- همگنی افراد- اطلاعات کامل و از این قبیل رو کنار بذارند. ریاضیات لازم برای این حالتها غالبا پیچیده تره . مثلا بعضی از این مدلها خیلی غیر خطی میشند و رفتارهایی نظیر ناپایداری و آشوب (کیاس) رو از خودشون نشون می دند برای همین برای مطالعه اونا آشنایی با نظریه آشوب ضروری میشه. برای بعضی دیگه از مسائل بالا روشهای فیزیک آماری و یا نظریه بازیهای تکاملی بکار گرفته شده. برخی این مدلها و این دید از اقتصاد رو کمپلکسیتی نامیدند
لیست ریاضیات مورد استفاده در اقتصاد به همینا ختم نمیشه (مثلا ریاضیات محاسباتی - آمار و اقتصادسنجی و ...) . با اینحال باید این نکته رو در نظر داشت که دانش خیلی زیاد از ریاضی برای کسی که می خواد تئوریسین اقتصاد بشه ضروریه - بیشتر اقتصاددانا کارشون توسعه دادن تئوری اقتصاد نیست- حتی در بین اقتصاددانای بزرگ هم کسایی هستند که کارشون خیلی ریاضی نیست ولی خیلی با اهمیته . با اینحال از این نکته هم نمیشه غافل شد که هرچی آدم بیشتر ریاضی بدونه برای فهم و توسعه علم اقتصاد مجهزتره.

nerd-economist.blogspot.com