ریاضیات و فلسفه

در این مقاله کوشیده شده تا تأثیرات و بحران های به وجود آمده توسط ریاضیات را بر فلسفه های گوناگون مورد بررسی قرار دهیم و به طور اجمال به بررسی مفاهیم بی نهایت و تأثیر آن بر فلسفه یونان باستان و فیثاغورثیان(۱) و نیز تأثیر هندسه بر فلسفه جدید و معاصر و بحران های حاصل از متزلزل شدن این مقولات بر فلسفه پرداخته خواهد شد.
تعریف کردن ریاضیات کار آسانی نیست. ریاضیات را نه از ماهیت مواد آن، بلکه از روشی که آن مواد و عناصر را به کار می گیریم، می توان شناخت.
با این وجود دو ویژگی اصلی ریاضیات بر کسی پوشیده نیست:
۱) دقت منطقی و نیروی استدلال های قیاسی آن
۲) کاربرد بی اندازه آن در زندگی انسان
شناخت ما نسبت به جهان اطراف بدون ریاضیات غیرممکن است. ریاضیات در تمامی حوزه های اندیشه بشری به طور کلی و به همه آنچه به فکر انسان مربوط است نفوذ می کند و این همان جنبه فلسفی آن است. مانند سایر علوم، ریاضیات نیز در ابتدا جزیی از فلسفه بوده است و فیلسوفان می کوشیده اند دیدگاه های فلسفی خود را توسط ریاضیات، تبیین و ایضاح نمایند. افرادی چون طالس و فیثاغورث برای بیان قانون های کلی جهان نیاز به استدلال داشته اند، از این رو چاره ای جز توسل به استدلال ریاضی نداشته اند. شاید شما هم این جمله معروف و زیبای گالیله را شنیده باشید که: «جهان کتابی است پر از فلسفه، این کتاب در برابر چشمان ما گشوده است، ولی تنها زمانی می توان آن را درک کرد که با زبان و نشانه های آن آشنا باشیم. این زبان ریاضیات، و این نشانه ها، مثلث ها، دایره ها و سایر اشکال هندسی اند.»
این جمله می تواند به تنهایی بیانگر رابطه عمیق و زیبای ریاضیات و فلسفه باشد و در تأیید این امر باید به یاد آورد که افلاطون بر سردر آکادمی چه نوشته بود: «کسی که ریاضیات نمی داند، وارد نشود» .
در اینجا لازم است که به «دومولن» اشاره کنیم. آنجا که می گوید: «بدون ریاضیات نمی توان به فلسفه دست یافت و بدون فلسفه نیز به مفهوم و ماهیت ریاضیات نتوان رسید و بدون این دو نمی توان به هیچ حقیقتی رسید.»
برای اثبات این مدعا بهتر است به لیست ریاضیدانان و فیلسوفان زیر توجه کنید: طالس، فیثاغورث، دموکریت، فارابی، ابن سینا، خیام، دکارت، خوارزمی، لایب نیتس، نیوتن، لباچوسکی، ریمان، کانتور، پوانکاره و راسل. بدون شک تأثیر مستقیم ریاضیات بر فلسفه آشکار است و باید گفت که در رویارویی این دو شاخه از معرفت بشری، پیروزی نهایی با ریاضیات بوده است که می توان به عنوان نمونه به مسأله بی نهایت و تأثیر آن بر فلسفه فیثاغورث، مشکل اعداد اصم(گنگ)، و نیز قطعیت در ریاضیات، همچنین تأثیری که هندسه های نااقلیدسی در تفکر فلسفی ایجاد نموده اند اشاره کرد.
ریاضیات در مرحله مقدماتی خود از دو رشته اصلی حساب و هندسه تشکیل می شود. موضوع حساب، اعداد است و هندسه به پراکندگی اجسام در مکان و توزیع رویدادها در مکان می پردازد. نظریه اعداد را در فیثاغورثیان نمونه اولیه و باستانی حساب می دانند.
در میان فیثاغورثیان، توجه به ریاضیات به امری روحانی و قدسی تبدیل شده بود و در این میان کشف رابطه اعداد و اشکال هندسی در بین آنان منجر به پیدایش این فکر شد که تمام پدیده های عالم توسط اعداد قابل توجیه هستند. آنها برای هر پدیده حتی خداوند نیز قائل به اعدادی شدند. اعتقاد به این که اعداد صورت پدیده ها را عینیت می بخشد، در میان فیثاغورثیان تحکیم شده و به نوعی پاسخ برای یافتن معمای مادهٔ المواد یا آرخه تبدیل شد. آنها حتی راه حل بغرنج ترین مسائل زندگی اجتماعی و سیاسی بشر را در ویژگی های شناسایی بخش عدد جستجو می کردند. جالب است که افلاطون نیز بخشی از کتاب جمهوری را به این موارد اختصاص داده و به پیروی از فیثاغورثیان، تمام گرفتاری ها و ناهماهنگی ها را ناشی از بی اطلاعی رهبران جامعه از ویژگی ها و توانایی های عدد می داند و لازم به ذکر است که منظور فیثاغورثیان از عدد، اعداد صحیح و مثبت می باشد.
شاید بپرسید که بحران در کجاست؟ مشکل دقیقاً از جایی شروع شد که هیچ کس توقع آن را نداشت،- حداقل برای خود فیثاغورثیان غیرمنتظره بود- آنان که معتقد به بیان مفهومات روانی و معنوی توسط عدد بودند، در توضیح و بیان طول قطر مربعی که ضلعی برابر یک داشته باشند، ناتوان شدند و قادر به بیان این پاره خط با اعداد طبیعی نبودند و می دانیم که طول قطر چنین مربعی ۲ است.
ولی آنان به اعداد گنگ آشنایی نداشتند و ۲ نیز برابر با نسبت دو عدد طبیعی نیست.
مدتها این موضوع از دیگران پنهان شد و به عنوان یکی از اسرار نحله باقی ماند. رازی که برملا شدنش باعث مرگ فاش کننده آن شد. گفته شده است که آن شخص را در دریا غرق کردند. جالب اینجاست که فاش شدن این مطلب که عدد قادر به بیان طول یک پاره خط راست نیست، باعث در هم شکستن فلسفه فیثاغورث شد. هر چند تا مدتها اعتقاد به اعجاز اعداد در بین یونانیان باقی ماند. این بدشانسی فیثاغورثیان بوده که با اعداد گنگ آشنایی نداشته اند و مبنای اعداد آنان، اعداد صحیح بوده است.
ولی فراموش نکنیم که این نحله و فلسفه آن خدمات شایانی به تفکر بشری نمود ه است. یکی از دلایلی که موجب شد ریاضیات یونانی به سمت هندسه روی آورد، همین ناقص بودن اعداد مثبت در بیان توافق قطر و ضلع مربع واحد است. یعنی همان اصلی که به نامتوافق بودن قطر و ضلع مربع اشاره می کند- راسل آن را چالش طبیعت با حساب می نامد- پس از آن به پارمیندس- می رسیم- یکی دیگر از پیش سقراطیان- که قائل به ثبات در عالم بود، و با کثرت فیثاغورثی به شدت مخالف. او اندیشه وحدت و واحد را ترویج می کرد. پارمیندس حرکت را نفی می کرد و منکر سیلان بود. او می گوید: «تمام آنچه حرکت دیده می شود، خیال و تصور انسان است.» این حرف او در تضاد با تجربیات و مشاهدات روزمره ماست و کمتر کسی آن را خواهد پذیرفت. البته مسأله پارمیندس نیست، بلکه شاگرد او یعنی زنون الئایی می باشد، او برای این که نظر استاد خود را به کرسی بنشاند، چهار استدلال را مطرح کرد که جنبه ریاضی داشتند و وجود حرکت را نیز نفی می کردند. استدلالات او بر پایه اصل و مفهوم «بی نهایت» بوده است.در اینجا به بیان این استدلال ها از زبان ارسطو در کتاب طبیعیات می پردازیم:
نخستین استدلال برای این که حرکت روی نمی دهد، این است که شیء متحرک، قبلاً باید به نیمه راه برسد و در جای دیگر می گوید: بر اساس این استدلال ممکن نیست که مسافت بی پایانی را در زمانی محدود طی کرد. ارسطو دومین استدلال زنون را این گونه بیان می کند: استدلال دوم همان به اصطلاح آفیلیوس است و آن چنین است که کندروترین موجود در حرکت خود هرگز به وسیله تندروترین، جلو زده نخواهد شد، زیرا دنبال کننده همیشه مجبور است به نقطه ای برسد که موجود گریزنده از آن آغاز به حرکت کرده است. بدان سان که موجود کندرو همواره ضرورتاً مقداری پیش است. در استدلال سوم زنون که معروف به تیرپرنده است، ارسطو چنین می گوید: بر پایه ای این فرض که زمان مرکب از اکنون هاست، زنون قائل به ساکن تیرپرنده می باشد. بر اساس این استدلال یک تیر وقتی از کمان رها می شود، هرگز به هدف نخواهد خورد. اگر دو نقطه A و B را در نظر بگیریم(A محل پرتاب تیر و B هدف است) تیری که از نقطه A به سمت B پرتاب می شود، هرگز به B نخواهد رسید. زیرا، برای رسیدن ابتدا باید به نقطه C در وسط خط AB برسد. و برای رسیدن به C باید از نقطه D در وسط خط AC عبور کند و... می بینیم که این تیر برای رسیدن به نقطه B باید از بی نهایت نقطه عبور کند. برای این منظور به زمانی برابر بی نهایت احتیاج داریم.
بدین ترتیب بحث از بی نهایت در فلسفه و ریاضیات مطرح می شود و باعث مباحث و مسائل فراوانی در فلسفه می شود. هر یک از فلاسفه به نوعی در صدد پاسخگویی به این مسائل برمی آمدند، تا بتوانند مفاهیمی مانند حرکت، زمان، خلقت و خدا و غیره را تبیین کرده و تفسیر کنند.تا این که نادرستی استدلالات زنون از نظر ریاضی در قرن ۱۶ و ۱۷ میلادی و از نظر فلسفی در قرن ۲۰ میلادی روشن شد. اما در زمان خود نوعی بحران پدید آورد که موجب هراس و دوری فیلسوفان و ریاضیدانان یونان باستان از مفهوم بی نهایت گردید و این امر باعث شد تفکر یونانی بیشتر به هندسه روی آورد.
یکی از دلایل تمایل یونانیان و فلاسفه به هندسه و به طور ویژه هندسه اقلیدسی، قطعیتی بود که در مباحث آن وجود داشت، میل به قطعیتی بود که در مباحث آن وجود داشت، میل به قطعیت از گرایش های فطری و ژرف بشر است. ریاضیات به مجرد آن که با انسجام منطقی، هندسه پختگی و کمال یافت، قطعیت خود را نشان داد. پس طبیعی بود که بیشتر متفکران از همان آغاز با دیده تحسین به هندسه بنگرند و روش های مؤثر و قطعی هندسی را در همه رشته های فلسفه سرمشق قرار دهند؛ هر چند این طرز نگاه حاصل برداشت نادرست از ماهیت قطعیتی ریاضی است. قطعیتی که در نهاد ریاضیات است، قطعیت منطقی است. همان قطعیت پیروی گریزناپذیر برخی قضایا از برخی دیگر.
رؤیای یک فیلسوف رسیدن به یقین و قطعیت و یک نقطه و جایگاه ثابت است و تنها علمی که به نظر آنان به این فضیلت رسیده بود، ریاضیات و به ویژه هندسه اقلیدسی بوده است. از زندگی و شخصیت اقلیدس اطلاع چندانی در دست نیست. احتمالاً در آکادمی افلاطون تحصیل کرده است. کتاب معروف او که سال ها حکومت بی چون و چرای خود را در عالم ریاضیات داشت، کتاب اصول است. این کتاب مرجعی بود که بیشتر دستاوردهای مهم ریاضیدانان را تا زمان تألیف دربرداشت، این هندسه بر مبنای اصول قیاسی و استنتاجی استوار بوده و دارای اصل موضوع ها و تعریفات و بدیهیات خاص خود است. نخستین اصل موضوع های هندسه اقلیدسی چنین است:
۱) از هر دو نقطه می توان یک خط راست گذراند.
۲) هر خط راست را می توان ادامه داد و...
همان طور که گفتیم: برای قرن ها این قطعیت در ریاضیات رؤیای فیلسوفانی بود. هر یک به نوعی درصدد رسیدن به چنین هدفی بودند و جملگی به ریاضی وار بیان کردن فلسفه خود معتقد بودند. از آن میان می توان به اسپینوزا و کتاب اخلاق او که به سبک کاملاً اقلیدسی نوشته شده است اشاره کرد. آرزوی لایب نیتس این بود که تمام درگیریها و مجادلات پایان یابد و همه به دور یک میز بنشینند و با معادلات ریاضی و مفاهیم و مباحث ریاضی به اختلافات خود پایان دهند و از آنجا که ریاضیات دانشی منطقی و قانع کننده است، دو طرف به دیدگاهی واحد برسند. رؤیای هیوم برای نوشتن و رسیدن به یک اخلاق و نظام فلسفی مبنی بر ریاضیات و وضوح و متمایزبودن ریاضیات از دیدگاه دکارت و از همه جالب تر متقدم بودن ریاضیات در نزد کانت، همه و همه نشان از توجه و تقدس ریاضیات نزد فلاسفه مغرب زمین است. کانت هندسه اقلیدسی را علمی حضوری و مستقل از تجربه می دانست ولی این امر دیری نپایید و ظهور لباچفسکی، گوس و ریمان تمام رؤیاها و یقینیات فلاسفه ای از این دست را به باد داد، با این که هندسه اقلیدسی تا آن زمان بی رقیب و یگانه فرض می شد. اتفاق جالبی افتاد؛ نیکلای لباچفسکی ریاضیدان بزرگ روس در حال تحقیق در اثبات یکی از اصول هندسه اقلیدس- اصل توازی- بود که به نتایج جالبی رسید. او اصل توازی را که یکی از اصول موضوعه هندسه اقلیدسی بود، کنار گذاشت و به جای آن اصل جدیدی قرار داد و ثابت کرد که با تغییردادن اصول موضوعه می توان به هندسه ای جدید رسید که در آن به جای دایره، هذلولی، شکل کامل باشد و نیز بتوان پاسخگوی مسائل هندسه فضایی باشد. بدین ترتیب روزهای خوب و طلایی هندسه اقلیدسی به پایان رسید و یکی از مهمترین پایگاه های قیاسی و استنتاجی مبتنی بر اصول ثابته معرفت بشری فرو ریخت و این امر سببی بود بر بحران هایی که فلسفه در قرن ۲۰ با آن مواجه گشت و شروعی برای گرایش به فلسفه ها و مکاتب عقل گریز و نسبیت باور شد.
منابع اصلی:
۱- شهریاری، پرویز/ فلسفه، اخلاق و ریاضیات/ انتشارات پژوهنده، تهران، ،۱۳۷۸ چ اول/
۲- لیندبرگ، دیوید.سی/ سرآغازهای علم در غرب/ ترجمه دکتر فریدون بدره ای، تهران، انتشارات علمی، فرهنگی، ۱۳۷۴.
۳ - گیلیس، دانالد/ فلسفه علم در قرن بیستم/ ترجمه دکتر حسن میانداری، انتشارات طه، قم، ۱۳۸۱.
۴- چالمزر، آلن اف/ چیستی علم، درآمدی بر مکاتب علم شناسی فلسفی/ ترجمه دکتر سعید زیباکلام، سمت، تهران، ۱۳۷۹.
۵- لازی. جان/ درآمدی تاریخی به فلسفه علم/ ترجمه دکتر علی پایا، تهران، سمت/ ۱۳۷۷.
۶- کرومبی، آ.سی/ از اگوستن تا گالیله/ ترجمه احمد آرام/ تهران، سمت، ۱۳۷۱.

امیر پرتوی

منبع : روزنامه همشهری